Всего: 33 1–20 | 21–33
Добавить в вариант
Найти все решения уравнения: 
Можно, действуя прямо в лоб, заменить 
после преобразований получим:
откуда 
Следовательно, 
Можно решать по-другому, заменить квадраты косинусов через косинусы двойного угла, получив 
затем свернуть сумму первого и третьего слагаемых в удвоенное произведение косинусов, выразить всё через 
получив уравнение 
с решениями 
Ответ: 
Примечание: Во всём решении k, l, m берутся из множества целых чисел.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
Нахождение значений  или  . | 4 |
| Верное выписывание всех серий решений. | 3 |
| Потеря части решений. | 4-5 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Примечание: Во всём решении k, l, m берутся из множества целых чисел.
Могут ли при каком-то значении x оба числа 
и 
быть рациональными?
Обозначим эти числа за a и b соответственно. Тогда 
откуда 
В силу рациональности a и b последнее неравенство возможно только при 
откуда 
однако при этом 
что невозможно.
Ответ: Нет.
Решить уравнение: 
Воспользуемся формулой 
преобразуем уравнение к виду 
Сложим в нём первый и третий косинусы: 
и введём замену 
Получим уравнение 
из которого 
Отсюда находим три серии решений: 
Отбор корней тут не нужен.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Потеря одной серии решений, или их неверное нахождение. | 4 |
| Потеря двух серий, или их неверное нахождение. | 2 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Решить уравнение 
Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования разности косинусов в произведение получаем:
или
Отсюда или
или
Во втором случае, замечая, что
и применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, будем иметь
Так как 
то
Ответ: 
За обоснованное решение — 10 баллов, если получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения — 6 баллов.
Решить уравнение 
Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части формулу преобразования суммы синусов в произведение, получим:
или
Отсюда или
или
Во втором случае, применяя формулу преобразования разности косинусов в произведение, будем иметь
Ответ:
Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:
С помощью формулы 
преобразуем данную Функцию к виду
Значения косинуса целиком заполняют промежуток 
при условии, что 
Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем
Таким образом, множество значений функции содержит семь целых чисел: −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.
Ответ: 7.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции:
С помощью формулы 
преобразуем данную функцию к виду
Значения косинуса целиком заполняют промежуток
при условии, что 
Наименьшее и наибольшее значение находим обоснованно любым способом (графически, через производную, выделением полного квадрата), в результате чего, имеем
Таким образом, множество значений Функции содержит восемь целых чисел: −2022, −2021, −2020, −2019, −2018, −2017, −2016, −2015.
Ответ: 8.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите значение выражения 
Вычислим:
Ответ: 
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Найдите значение выражения 
Вычислим:
Ответ:
Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.
Известно, что 
где 
Найдите 
Преобразуем исходное выражение:
Тогда данное в условии равенство можно преобразовать так:
Приводя к общему знаменателю и упрощая, получаем равносильное на ОДЗ уравнение
откуда 
или 
Оба варианта подходят (т. к. знаменатели не обращаются в ноль). Следовательно, 
Ответ: 
Использованы неверный формулы тригонометрии — 0 баллов за все дальнейшие действия.
Найден 
(билеты 29, 31) или 
(билеты 30, 32) — 1 балл.
Получено дробно-рациональное уравнение относительно 
(билеты 29, 31) 
(билеты 30, 32) — 1 балл.
Это уравнение приведено к квадратному — 1 балл.
Известно, что 
Найдите 
Преобразуем исходное выражение:
Тогда данное в условии равенство можно преобразовать так:
Приводя к общему знаменателю и упрощая, получаем равносильное на ОДЗ уравнение
откуда 
или 
Оба варианта подходят (т. к. знаменатели не обращаются в ноль). Следовательно, 
Ответ: 
Использованы неверный формулы тригонометрии — 0 баллов за все дальнейшие действия.
Найден (билеты 29, 31) или (билеты 30, 32) — 1 балл.
Получено дробно-рациональное уравнение относительно (билеты 29, 31) (билеты 30, 32) — 1 балл.
Это уравнение приведено к квадратному — 1 балл.
Числа 
удовлетворяют условию
Какое наименьшее значение может принимать величина
(А. Храбров)
Заметим, что
Следовательно,
Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше 2. С другой стороны, если 
и 
то
Числа 
удовлетворяют условию
Какое наименьшее значение может принимать величина
Ответ: наименьшее значение равно 2.
Решите уравнение
При условии 
возводим в квадрат обе части уравнения:
Возможно два варианта:
1) если 
то 
2) если 
при 
то
С учетом условия окончательно имеем 
и 
Ответ: 
Решите уравнение 
При условии 
возводим в квадрат обе части уравнения 
для всех x):
отсюда
С учетом условия 
окончательно имеем 
Ответ: 
Решите уравнение
Преобразуем исходное выражение:
При условии 
находим корни уравнения
С учетом условия окончательно имеем 
и 
где
Ответ: 
Решите уравнение
Преобразуем исходное уравнение:
При условии 
находим корни уравнения
С учетом условия 
окончательно имеем 
и 
где
Ответ: 
Решите уравнение
При условии 
находим корни уравнения
С учетом условия окончательно имеем 
и 
Ответ: 
Решите уравнение
При условии 
находим корни уравнения
С учетом условия 
окончательно имеем:
Ответ: 
Решить уравнение 
Для решения уравнения используем формулу двойного угла 
Получим
Возможны два случая:
1) 
2) 
Ответ: 
Вычислить значение выражения A, если
Пусть: 
при 
и 
при 
и 
Следовательно,
Тогда,
Отсюда
Так как 
и
то, следовательно,
и все выражение равно
Ответ: 
Наверх